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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 4: 集类 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

本节是为以后各节讨论测度时要用的集合论方面的准备知识, 特别要介绍几个重要的集类. 

设 \( X \) 是某个取定的集, 有时也称为\textbf{基本空间}, 以 \( X \) 的某些子集为元素所成的集称为 \( X \) 上的\textbf{集类}, 或简称为\textbf{类}. 集类用黑体英文字母表示, 例如 \( \mathbf{E}, \mathbf{F}, \mathbf{M} \) 等. 设 \( \mathbf{E} \) 是 \( X \) 上某个集类, \( M \) 是 \( X \) 的某个子集, \( \mathbf{E} \cap M \) 表示集类 \( \{M \cap E \mid E \in \mathbf{E}\} \). 

\section{环与代数}
\begin{definition}
	设 \( X \) 是一个集, \( \mathbf{R} \) 是 \( X \) 上的集类, 如果对任何 \( E_1, E_2 \in \mathbf{R} \), 都有
\[E_1 \cup E_2 \in \mathbf{R}, \quad E_1 - E_2 \in \mathbf{R}\]
那么就称 \( \mathbf{R} \) 是 \( X \) 上的\textbf{环}. 特别, 如果还有 \( X \in \mathbf{R} \), 就称 \( \mathbf{R} \) 是 \( X \) 上的\textbf{代数}, 或称为\textbf{域}.
\end{definition} 

由定义可知, 环是对集的``\(\bigcup\)''及``\(-\)''运算封闭的非空类, 而代数是对``余''运算也封闭的环. 
下面举几个环的例子. 
\begin{example}\label{eg1}
	设 \( X \) 是任意的集, \( X \) 的有限子集 (包括空集 \(\varnothing\)) 全体所成的集类 \( \mathbf{E} \) 是一个环. 当 \( X \) 本身是有限集时, \( \mathbf{E} \) 是个代数. 
\end{example}
\begin{example}\label{eg2}
	设 \( X \) 是任意无限集, \( X \) 的有限子集及可列子集 (包括空集 \(\varnothing\)) 全体所成的集类 \( \mathbf{E} \) 是个环. 当 \( X \) 本身是可列集时, \( \mathbf{E} \) 是个代数. 
\end{example}\begin{example}\label{eg3}
	设 \( X \) 是任意集, \( X \) 的所有子集全体所成的集类 \( \mathbf{E} \) 是个代数.
\end{example}
\begin{example}\label{eg4}
	\( \mathbb E^1 \) 是实数全体, \( \mathbf{R}_0 \) 是由 \( \mathbb E^1 \) 中的有限个左开右闭的有限区间的和集 \( E = \bigcup\limits_{i=1}^n (a_i, b_i] \) 全体所成的集类. 那么 \( \mathbf{R}_0 \) 是个环.

现在验证 \( \mathbf{R}_0 \) 是环. \( \mathbf{R}_0 \) 对于运算``\(\bigcup\)''的封闭性是显然的, 所以只要验证 \( \mathbf{R}_0 \) 对运算``\(-\)''是封闭的. 首先注意到空集 \(\varnothing\) 可以视为 \((a, a]\), 因而 \(\varnothing \in \mathbf{R}_0\), 而任何两个左开右闭区间 \((a, b], (c, d]\) 的差只可能发生如下三种情况: 或是空集, 或是左开右闭区间, 或是两个不相交的左开右闭区间的和, 任何情况出现都说明 \((a, b]-(c, d] \in \mathbf{R}_0\). 对 \( \mathbf{R}_0 \) 中任何 \( E = \bigcup\limits_{i=1}^n (a_i, b_i], F = \bigcup\limits_{j=1}^m (c_j, d_j] \), 由于
\[ \bigcup\limits_{i=1}^{n} (a_i, b_i] - (c, d] = \bigcup\limits_{i=1}^{n} ((a_i, b_i] - (c, d]) \]
因此 \( \mathbf{R}_0 \) 中任何元素 \( E \) 减去一个区间 \((c, d]\) 后仍属于 \( \mathbf{R}_0 \). 由于
\[ E - F = (E - (c_1,d_1]) - \bigcup\limits_{j=2}^{m} (c_j, d_j], \]
利用 \( E - (c_1,d_1] \in \mathbf{R}_0 \) 以及归纳法易知 \( E - F \in \mathbf{R}_0 \), 即 \( \mathbf{R}_0 \) 对运算``$-$''是封闭的. 

显然 \( \mathbf{R}_0 \) 中的元都可以表示成有限个两两不相交的左开右闭的区间的和, 当然表示法并不唯一. 
\end{example}

在这个例中, 如果把条件``左开右闭''改为``左闭右开'', 那么仍然是一个环. 但要注意, 由有限个开区间 (或闭区间) 的和集全体所组成的集类并不是一个环, 这是因为两个开区间的差集可以不再是开区间 (对闭区间的情况也是如此) . 
\begin{example}\label{eg5}
	\( \mathbb E^1 \) 仍表示实数全体, \( \mathbf{R}_1 \) 表示由 \( \mathbb E^1 \) 中的有限个有限区间 (不论是开的、闭的, 还是半开半闭的) 的和集全体所成的集类, 那么 \( \mathbf{R}_1 \) 是个环. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg6}
	在二维欧几里得空间 \( \mathbb E^2 \) 中, 当 \( a \leqslant b, c \leqslant d \) 时, 称
\[ E = \{(x, y) \mid a < x \leqslant b, c < y \leqslant d\} \]
为 \( \mathbb E^2 \) 中的左下开右上闭的矩形, 由有限个左下开右上闭的矩形的和集全体所成的集类 \( \mathbf{E} \) 是一个环. 
\end{example} 

对于 \( n \) 维欧几里得空间, 也可作出类似的环. 

由于
\[ E_1 \cap E_2 = (E_1 \cup E_2) - (E_1 - E_2) - (E_2 - E_1) \]
可见\textbf{环对于``\(\cap\)''运算也是封闭的.} 另外, \textbf{空集 \(\varnothing\) 是任何环 \( \mathbf{R} \) 的元素. 环 \( \mathbf{R} \) 中有限个元素 \( E_1, \dots, E_n \) 的和集 \(\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \) 也属于 \( \mathbf{R} \)}, 这由环的定义可以直接知道. 我们再指出一点: 如果 \( \mathbf{R}_1 \) 与 \( \mathbf{R}_2 \) 是同一基本空间 \(X\) 上的两个环 (或代数) , 那么它们的通集 \( \mathbf{R} = \mathbf{R}_1 \cap \mathbf{R}_2 \) 也是个环 (或代数) . 这是因为当 \( E_1, E_2 \in \mathbf{R} \) 时, 它们都属于 \( \mathbf{R}_1 \), 也都属于 \( \mathbf{R}_2 \), 所以 \( E_1 \cup E_2 \in \mathbf{R}_1, E_1 \cup E_2 \in \mathbf{R}_2 \), 于是 \( E_1 \cup E_2 \in \mathbf{R} \), 同样理由可知 \( E_1 - E_2 \in \mathbf{R} \). \textbf{更一般地, \( X \) 上的任意个环 (或代数) \( \mathbf{R}_\zeta \) 的通集 \(\bigcap\limits_\zeta \mathbf{R}_\zeta\) 仍是个环 (或代数) }. 
\begin{theorem}\label{thm2.1.1}
	设 \( \mathbf{E} \) 是由集 \( X \) 的某些子集所成的集类, 那么必定有唯一的环 (或代数) \( \mathbf{R} \) 使得
\begin{enumerate}
    \item \( \mathbf{E} \subseteq\mathbf{R} \)\label{thm2.1.1.1}
    \item 对任何包含 \( \mathbf{E} \) 的环 (或代数) \( \mathbf{R}^{\prime} \) 都成立 \( \mathbf{R} \subseteq\mathbf{R}^{\prime} \). \label{thm2.1.1.2}
\end{enumerate}
换句话说, \( \mathbf{R} \) 是包含 \( \mathbf{E} \) 的最小的环 (或代数) .
\end{theorem}

\begin{proof}
	首先, 由于 \( X \) 的子集全体 \(\mathbf X \) 是个环, 它当然包含 \( \mathbf{E} \), 因此包含 \( \mathbf{E} \) 的环确实是有的. 作一族环 \( \mathscr{M} = \{\mathbf{R}^{\prime} \mid X \supseteq \mathbf{R}^{\prime} \supseteq \mathbf{E}, \mathbf{R}^{\prime}\,\text{是环}\} \). 令 \( \mathbf{R} = \bigcap\limits_{\mathbf{R}^{\prime} \in \mathscr{M}} \mathbf{R}^{\prime} \), 就是说 \( \mathbf{R} \) 是所有包含 \( \mathbf{E} \) 的环的通集. 由于任意个环的通集是环, 所以 \( \mathbf{R} \) 是环, \( \mathbf{R} \supseteq \mathbf{E} \) 是显然的, 由 \( \mathbf{R} \) 的定义可知性质 \ref{thm2.1.1.2} 成立. 而满足 \ref{thm2.1.1.1}, \ref{thm2.1.1.2} 这两条性质的环当然只有一个. 对于代数的情况, 类似可证. 
\end{proof}

定理 \ref{thm2.1.1} 中的环 (代数) \( \mathbf{R} \) 称为由集类 \( \mathbf{E} \) 所张成的环 (代数) . 由集类 \( \mathbf{E} \) 所张成的环 (代数) 一般用 \( \mathbf{R}(\mathbf{E}) \) 或 \( \mathscr{R}(\mathbf{E})(\mathscr{F}(\mathbf{E})) \) 表示. 

\begin{example}\label{eg7}
	设 \( X \) 是一个任意非空集, \( \mathbf{E} \) 表示由 \( X \) 的单元素子集全体所成的集类, 那么 \( \mathbf{R}(\mathbf{E}) \) 就是由 \( X \) 的有限子集 (包括空集) 全体所成的环 (见例 \ref{eg1}) .
\end{example}

\begin{example}\label{eg8}
	令 \( \mathbf{P} \) 表示实轴上左开右闭区间 \((a, b]\) (\(-\infty < a < b < \infty\)) 全体所成的集类, 那么 \( \mathbf{R}(\mathbf{P}) \) 就是前面例 \ref{eg4} 中的环 \( \mathbf{R}_0 \).
\end{example} 

容易知道, 如果 \( \mathbf{E} \) 是个非空集类, \( \mathbf{R}(\mathbf{E}) \) 就是由 \( \mathbf{E} \) 中任意取有限个元素 \( E_1, E_2, \dots, E_n \) 经过有限次``\(\cup\)'', ``\(\cap\)'', ``\(-\)''运算后所得的集全体. 在类 \( \mathbf{E} \) 中加进元素 \( X \) 后所成的类记为 \( \mathbf{E}^{\prime} \), 显然 \( \mathbf{R}(\mathbf{E}^{\prime}) = \mathscr{F}(\mathbf{E}) \). 

\section{\(\sigma\)-环与 \(\sigma\)-代数}
环和代数这两种集类只对集的``\(\bigcup\)''、``\(-\)''运算封闭. 对于分析数学来说, 还必须考察对集的极限运算也封闭的集类, 即考虑 \(\sigma\)-环和 \(\sigma\)-代数. 
\begin{definition}
	设 \( \mathbf{S} \) 是由集 \( X \) 的某些子集所成的集类, 如果对任何一列 \( E_i \subseteq \mathbf{S} (i=1,2,\dots) \), 都有
\[\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \subseteq \mathbf{S}, \quad E_1 - E_2 \subseteq \mathbf{S}\]
就称 \( \mathbf{S} \) 是 \( X \) 上的 \textbf{\(\sigma\)-环}. 如果又有 \( X \in \mathbf{S} \), 就称 \( \mathbf{S} \) 是 \( X \) 上的 \textbf{\(\sigma\)-代数}, 或 \textbf{\(\sigma\)-域}. 
\end{definition}


由定义可知 \(\sigma\)-环 (\(\sigma\)-代数) 是对``差''和``可列和''运算 (还有对``余''运算) 封闭的非空集类. 

前面例 \ref{eg2},\ref{eg3} 中的环都是 \(\sigma\)-环, 但例 \ref{eg4},\ref{eg5},\ref{eg6} 所举的环并不是 \(\sigma\)-环. 例 \ref{eg1} 中的环一般也不是 \(\sigma\)-环, 除非 \( X \) 本身是有限集, 这时例 \ref{eg1} 和例 \ref{eg3} 是一样的. 

显然空集 \(\varnothing\) 属于任何 \(\sigma\)-环, 因此 \(\sigma\)-环必定是环. 

根据和通关系式, 可知
\[\bigcap\limits_{i=1}^{\infty} E_i = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i - \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_j - E_i \right),\]
因此, \textbf{\(\sigma\)-环对于``可列通''的运算也是封闭的}. 由lecture 1 (4),(5)式 可知, 如果一列集 \(\{E_i\}\) 都属于一个 \(\sigma\)-环, 那么它们的上限集与下限集也属于这个 \(\sigma\)- 环. 这样, \(\sigma\)-环就是对极限运算也封闭的环. 

与环 (代数) 的情况一样, 任意个\textbf{ \(\sigma\)-环 (\(\sigma\)-代数) 的通集仍是个 \(\sigma\)-环 (\(\sigma\)-代数)}. 

\begin{theorem}\label{thm2.1.2}
	设 \( \mathbf{E} \) 是由集 \( X \) 的某些子集所成的集类, 那么必定有唯一的 \(\sigma\)-环(\(\sigma\)-代数)\(\mathbf{S}\) 使得
\begin{enumerate}
    \item \( \mathbf{E} \subseteq \mathbf{S} \)
    \item 对于包含 \( \mathbf{E} \) 的任何 \(\sigma\)-环(\(\sigma\)-代数)\(\mathbf{S}_1\) 都成立 \( \mathbf{S} \subseteq \mathbf{S}_1 \). 
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
定理 \ref{thm2.1.2} 的证明与定理 \ref{thm2.1.1} 相同, 只要把证明中的``环(代数)''都改成``\(\sigma\)-环(\(\sigma\)-代数)''就可以了. 定理中的 \(\sigma\)-环\(\mathbf{S}\) 称为由集类 \( \mathbf{E} \) 所张成的 \(\sigma\)-环. 由集类 \( \mathbf{E} \) 所张成的 \(\sigma\)-环用 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \) 表示, 而 \( \mathbf{E} \) 张成的 \(\sigma\)-代数仍常记为 \( \mathscr{F}(\mathbf{E}) \). 

\begin{corollary}
	\( \mathbf{S}(\mathbf{E}) = \mathbf{S}(\mathbf{R}(\mathbf{E})) \).
\end{corollary}

\begin{proof}
	因为 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \supseteq \mathbf{E} \), 所以 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \supseteq \mathbf{R}(\mathbf{E}) \), 从而 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \supseteq \mathbf{S}(\mathbf{R}(\mathbf{E})) \). 反之, 由于 \( \mathbf{E} \subseteq \mathbf{R}(\mathbf{E}) \), 所以 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \subseteq \mathbf{S}(\mathbf{R}(\mathbf{E})) \).
\end{proof}

注意, 当 \( \mathbf{E} \) 是 \( X \) 上的某个集类时, 我们不能简单地设想 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \) 是下面形式的集的全体: 在 \( \mathbf{E} \) 中任取一列集 \(\{ E_n \}\), 进行一系列的``$\cup$''、``$\cap$''、``$-$''运算后所得的集. 一般说来, 对一列集 \(\{ E_n \}\), 中间插入上述运算符号, 依次运算所得的集的序列不一定有极限, 即使有极限, 把这些极限集合体拿来也只是 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \) 中一小部分. 所以 \( \mathbf{S}(\mathbf{E}) \) 的结构远比 \( \mathbf{R}(\mathbf{E}) \) 复杂. 


\end{document}